Queridos amigos, si alguien tiene materiales electrónicos para análisis numérico que puedan facilitarme, ¡se lo agradecería mucho!

Análisis numérico

El análisis numérico es una disciplina que estudia algoritmos para problemas de "matemáticas continuas" (diferentes de las "matemáticas discretas"). Esto demuestra que se trata principalmente de problemas de números reales y números complejos, álgebra lineal numérica en el campo de los números reales y complejos, resolución de ecuaciones diferenciales y otros problemas relacionados con la física y la ingeniería.

Breve introducción

Algunos problemas de matemáticas continuas se pueden resolver con precisión mediante un algoritmo. Estos algoritmos se denominan métodos directos. Por ejemplo, el método de eliminación gaussiano para resolver sistemas de ecuaciones lineales y el método simplex en programación lineal.

Sin embargo, no todos los problemas tienen solución directa. Es posible que necesitemos convertir el problema continuo en un problema discreto. Este proceso se llama discretización. Otro enfoque posible es utilizar la iteración. Este enfoque surge de adivinar y encontrar una aproximación cercana a lo que se está resolviendo. Incluso cuando no existen métodos directos, los métodos iterativos pueden ser preferibles debido a su eficiencia.

La generación y propagación de errores

Se puede concluir que el estudio de los errores es una parte importante del análisis numérico. Los errores surgen de los métodos iterativos porque los valores aproximados difieren de los valores verdaderos. De manera similar, dado que la solución de problemas discretos no puede ser igual a la solución de problemas continuos, los métodos discretos también tienen el problema de errores discretos. Incluso si se utiliza un método directo, los errores son inevitables debido al uso de números de punto flotante.

Cuando ocurre un error, este se propaga a través del proceso computacional. De aquí surge el concepto de estabilidad numérica: cuando el error generado no aumenta demasiado durante el proceso de cálculo, se dice que el algoritmo es numéricamente estable. Esto solo es posible si el problema está bien calificado. Es decir, cuando las condiciones conocidas del problema cambian en un valor pequeño, los resultados sólo cambian ligeramente. De hecho, si el problema está mal condicionado, todos los errores crecerán dramáticamente.

Aplicaciones

Normalmente, los algoritmos de análisis numérico se aplican para calcular algunos problemas de diseño científico y de ingeniería. Por ejemplo: diseño estructural de puentes y aviones (puede referirse a física computacional y dinámica de fluidos computacional), pronóstico del tiempo, simulación climática, análisis y diseño molecular (química computacional), búsqueda de reservas de petróleo. Prácticamente todos los superordenadores aplican continuamente algoritmos de análisis numérico.

En resumen, la eficiencia juega un papel importante, y un enfoque heurístico es más importante que uno con una base teórica sólida porque es más efectivo. En términos generales, el análisis numérico utiliza estimaciones empíricas con el fin de encontrar nuevos métodos y analizar problemas, aunque también utiliza axiomas, teoremas y demostraciones matemáticas.

Software

Ahora, todos los algoritmos han sido implementados y ejecutados en computadoras. La base de conocimientos de Netlib contiene una rica colección de programas para problemas numéricos, la mayoría de los cuales están escritos en lenguajes Fortran y C. (/main/ntquery?method=4amp; dsid=2222amp; dekey=Netlibamp; gwp=8amp; curtab=2222_1) Los productos comerciales implementan muchos algoritmos numéricos diferentes, incluidas las bibliotecas de métodos IMSL y NAG. Hay otra opción gratuita. Es la función científica de GNU; biblioteca. Otra fuente de acceso particularmente atractiva es la biblioteca Numerical Ricipes, que se centra en una comprensión detallada de los algoritmos.

Existen muchos programas informáticos que realizan cálculos numéricos, ellos son:

· MATLAB: (un programa para cálculos matemáticos, especialmente cálculos de álgebra lineal), es un programa muy utilizado para realizar cálculos numéricos. Se produjo al mismo tiempo que su propio lenguaje de programación, que podía utilizarse para implementar cálculos numéricos.

·GUN Octave: Es un programa gratuito similar a Matlab.

· Lenguaje de programación R: un sistema ampliamente utilizado que es bueno en manipulación de datos y estadísticas. Hay cientos de paquetes especializados disponibles para descarga gratuita.

· Scilib.

·Lenguaje de programación IDL.

Campos de investigación

El campo del análisis numérico se puede dividir en diferentes disciplinas según los diferentes problemas resueltos.

★Valor de una función

Uno de los problemas más sencillos es estimar una función dado un punto. Sin embargo, ni siquiera estimar un polinomio es sencillo: el esquema de Homero suele ser más eficiente que el método obvio. En general, es importante evaluar y controlar los errores de redondeo producidos por operaciones de punto flotante.

★Interpolación, extrapolación y regresión

Los métodos de interpolación pueden resolver los siguientes problemas: dar valores de función desconocidos para algunos puntos, u otros valores de función de punto entre puntos dados. Un método muy sencillo es utilizar la interpolación lineal, que supone que la función desconocida es lineal entre cada dos puntos. Esto se puede generalizar a la interpolación polinomial, que a veces es más precisa pero sufre el fenómeno de Runge. Otros métodos de interpolación utilizan funciones de posicionamiento como splines o microondas.

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que primero buscamos valores de función fuera del rango de puntos conocidos.

La regresión es similar, pero tiene en cuenta la imprecisión de los datos. Queremos determinar una función desconocida en función de algunos puntos dados y algunos valores de función (con errores) de estos puntos. La forma más popular de lograr esto es mediante mínimos cuadrados.

★Solución a un sistema de ecuaciones

Otro problema importante es encontrar la solución a un sistema de ecuaciones dado. Dos situaciones son muy importantes: si la ecuación es lineal o no lineal.

Hemos hecho muchos esfuerzos para mejorar el método de resolución de ecuaciones lineales. Los métodos estándar incluyen el "método de eliminación de Gauss-Jordan" y el "método de descomposición LU". Los métodos iterativos como el "método de gradiente ***yoke" suelen ser más adecuados para sistemas grandes.

El algoritmo de búsqueda de raíces se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones no lineales (llamado así porque tener una raíz de una función es una condición para que esa función genere cero). Si la función es derivable y se conocen las derivadas, entonces el método de Newton (interpolación) es una opción adecuada. La linealización es otra técnica para resolver problemas no lineales.

★Optimización

Artículo principal: Método de optimización (matemáticas)

（/main/ntquery?method=4amp dsid=2222amp dekey=Optimización 28mathematics29amp; gwp=8amp; curtab=2222_1)

El problema de optimización requiere encontrar el punto del valor máximo o mínimo de la función dada. A menudo, este punto debe satisfacer algunas limitaciones.

Según la forma de la función objetivo y las restricciones, el dominio de optimización se puede dividir en varios subdominios. Por ejemplo, la programación lineal se ocupa de situaciones en las que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método muy conocido en programación lineal es el "método simplex".

Los multiplicadores de Lagrange se pueden utilizar para reducir problemas de optimización restringidos a problemas de optimización no restringidos.

★Evaluación integral

Artículo principal: Integración numérica

（/main/ntquery?method=4amp; dsid=2222amp; 8amp; curtab=2222_)

La integración numérica, también llamada método de integración numérica, se utiliza para resolver integrales definidas. Los métodos populares consisten en utilizar fórmulas de "Newton-Cotter" (como la regla del punto medio o la regla del trapezoide) o el método de la cuadratura gaussiana. Sin embargo, este enfoque tiene un alto costo cuando las dimensiones sobre las cuales se define la integral son grandes. En este caso, es posible que desee utilizar el "método de Monte Carlo" (método experimental estadístico), o cuando el dominio (número de dimensiones) sea razonablemente grande, utilice el método de ráster disperso.

★Ecuaciones diferenciales

Artículos principales: Ecuaciones diferenciales ordinarias numéricas, Ecuaciones diferenciales parciales numéricas

Ya sea resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales parciales, Análisis numérico También se ocupa de los métodos de aproximación para cálculos de soluciones.

Las ecuaciones diferenciales parciales se resuelven discretizando el problema en un subespacio de dimensión finita. Este método se puede lograr mediante un "método de elementos finitos", un "método de diferencias finitas" o (especialmente en ingeniería) un "método de volúmenes finitos". La base teórica de estos métodos a menudo involucra algunas teorías de análisis funcional. Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica.

Historia

La investigación en el campo del análisis numérico es anterior en muchos siglos a la invención de la computadora moderna. De hecho, muchos matemáticos en el pasado se han dedicado a la investigación del análisis numérico, como se desprende de los nombres de algunos algoritmos importantes actuales, como: "interpolación de Newton", "polinomio de interpolación lagrangiana" y "eliminación de interpolación gaussiana". ", o "método euleriano".

Para facilitar los cálculos manuales, se han publicado muchos libros que contienen muchas fórmulas y muchas tablas de datos, como puntos de interpolación y coeficientes de algunas funciones. Los datos de estas tablas suelen contener 16 decimales y algunas funciones calculan más decimales. Los usuarios pueden utilizar los datos de estas tablas para sustituir fórmulas dadas y realizar muy bien estimaciones numéricas de muchas funciones. Para estandarizar el trabajo en este campo, Abramovitz y Stegun editan las publicaciones del NIST. Este es un libro de más de 1000 páginas que contiene una gran cantidad de fórmulas y funciones de uso común y sus valores en muchos puntos. Cuando las computadoras estuvieron disponibles, los valores de estas funciones ya no eran muy importantes. Pero esas extensas listas de fórmulas siguen siendo útiles.

Las calculadoras mecánicas también son herramientas creadas para realizar cálculos manuales. En la década de 1940, estas calculadoras evolucionaron hasta convertirse en computadoras electrónicas. Estas computadoras también resultaron muy útiles para fines administrativos. Sin embargo, la invención de la computadora también afectó el campo del análisis numérico, ya que ahora eran posibles calculadoras más grandes y complejas.