Derivación y demostración de la óptica de Fourier

Es una rama formada mediante la introducción de la teoría de la comunicación, especialmente el método de análisis de Fourier, en la óptica. Los sistemas de información ópticos y los sistemas de información electrónicos tienen muchas similitudes. Ambos recopilan y transmiten información y ambos utilizan las mismas herramientas matemáticas: teoría de sistemas lineales y análisis de Fourier. Desde la perspectiva de la teoría de la información, se centra en el proceso de transmisión de información en el sistema; de manera similar, para un sistema óptico, según la teoría de la difracción escalar, la relación entre el objeto y la imagen también puede estar determinada por la propagación de la misma; campo luminoso en el sistema. Por lo tanto, el sistema óptico puede considerarse como un canal de comunicación. De esta manera, la teoría de sistemas lineales maduros en la teoría de la comunicación se puede utilizar para describir la mayoría de los sistemas ópticos. Cuando un objeto se ilumina con luz incoherente, la distribución de la intensidad de la luz en la superficie de la imagen del sistema es lineal (proporcional) a la distribución de la intensidad de la luz en el objeto. El concepto de respuesta al impulso h(t, τ) se utiliza para describir el sistema eléctrico, es decir, la respuesta del sistema a un pulso estrecho δ(t) (función delta de Dirac), y también se puede utilizar para describir el sistema óptico. , es decir, la respuesta del sistema óptico a una fuente de luz puntual. La respuesta δ (x, y) (imagen de una fuente de luz puntual) H (x, y; ξ, η) describe las propiedades del sistema. La única diferencia entre los dos es que la respuesta al impulso del sistema eléctrico es una función unidimensional en el tiempo, mientras que la función de impulso del sistema óptico es una función bidimensional en el espacio. Ambos son invariantes de desplazamiento, la distribución del primero no cambia con el desplazamiento temporal y la distribución del segundo no cambia con el desplazamiento espacial (es decir, condición isohalo). La respuesta al impulso de un sistema óptico también se denomina función de dispersión puntual (ver función de transferencia óptica). Una vez conocida la función de dispersión puntual del sistema, la imagen g(ξ, η) formada por el sistema para cualquier objeto f(x, y) se puede obtener mediante la superposición lineal de las funciones de dispersión puntual generadas por cada fuente puntual en el objeto. Cuando el desplazamiento espacial es constante, la integral de superposición se puede simplificar a una convolución. Frecuencia espacial En la teoría de la información, el concepto de respuesta de frecuencia también se usa comúnmente, es decir, al ingresar señales de diferentes frecuencias y observar la salida correspondiente del sistema, la transmisión de varias frecuencias se puede entender a partir de la curva de respuesta de frecuencia. Además de sustituir la respuesta de frecuencia instantánea por una respuesta de frecuencia espacial, el concepto de respuesta de frecuencia también se puede introducir en los sistemas ópticos. La frecuencia instantánea es el recíproco del período de la función de tiempo acosωt.

De manera similar, el recíproco v=1/d (unidad: línea/mm) del período d de la función espacial se puede definir como la frecuencia espacial. Tomando el objeto más simple, la rejilla, como ejemplo, se puede representar mediante la función 1+Acos(2πvx), donde v=1/d y d es la constante de la rejilla.

Según el análisis de Fourier, cualquier objeto complejo f(x, y) se puede escribir como una relación de transformada de Fourier.

Donde F(vx, vy) es el espectro espacial del objeto. Su significado físico es descomponer el número complejo f (x, y) en muchas funciones elementales simples.

El espectro espacial F(vx, vy) es solo un factor de ponderación que se suma a la función original correspondiente. La función original se puede ver más vívidamente como rejillas con diferentes orientaciones [θ = TG-1 (vy/VX)] y diferentes períodos espaciales L = (Figura 1). La proporción de cada rejilla en la función objetivo está determinada por el peso. factor - Se determina el espectro espacial F(vx, vy). De esta manera, la respuesta de un sistema óptico a f(x, y) se puede descomponer en respuestas a varias funciones elementales, y luego se puede obtener la respuesta total superponiendo las respuestas individuales. De manera similar, la transformación inversa también se puede escribir como Para un objeto conocido f(x,y), se puede calcular su distribución espectral espacial.

Las propiedades de la transformada de Fourier de las lentes se conocen a partir de la teoría de la difracción escalar. Considerando la condición de aproximación paraxial, en la región de difracción de Fresnel (campo cercano), la relación entre el plano de apertura (x, y) y el campo de luz (ξ, η) en el plano de observación es la siguiente

Esto se llama transformada de Fresnel. donde f (x, y) es la amplitud del campo luminoso en el plano de apertura de difracción, g (ξ, η) es la amplitud del campo luminoso en el plano de observación, с es el factor de fase constante, u = 2πξ/λz, μ = 2π η/ λ z es la frecuencia angular espacial y z es la distancia entre planos. La fórmula anterior puede

relación de transformada recíproca de Fourier

Este es un factor de fase cuadrático. A medida que el plano de visión se aleja del plano de apertura, la ecuación anterior se convierte en difracción de Fraunhofer (campo lejano).

La imagen de difracción g(ξ, η) en este momento es la transformada de Fourier de la distribución del campo de luz f(x, y) en el plano de apertura, o el espectro espacial de f(x, y) . Lo interesante es la función de transmitancia de las lentes convexas delgadas.

(donde f es la distancia focal de la lente) compensa exactamente el factor de fase secundaria en la difracción de Fresnel. Como resultado, la distribución del campo de luz g(ξ, η) en el plano focal posterior de la lente. se convierte en f La transformada de Fourier o espectro espacial de (x, y). En este momento, la frecuencia angular espacial u = 2πψ/λf, ξ = 2π η/λ f. Cuando la longitud de onda λ de la onda de luz incidente y la longitud focal f de la lente son constantes, las frecuencias espaciales vx = ξ/λf. y vy = η/λf son respectivamente los mismos que los siguientes. Las coordenadas espaciales ξ y η en el plano focal son proporcionales entre sí. Por lo tanto, el propósito de una lente convexa es dibujar el patrón de difracción de Fraunhofer a una distancia más cercana al plano focal posterior. Se puede demostrar que cuando el plano de apertura se coloca en el plano focal frontal de la lente, el factor de fase constante desaparece y existe una relación precisa de transformada de Fourier entre f (x, y) y g (η, η) (Figura 2 ).

Óptica de Fourier

Óptica de Fourier

Puede analizar el espectro espacial de varias imágenes, utilizando la distribución del campo de luz en los planos focales delantero y trasero de la lente para Ser relaciones transformadas de Fourier, para identificar y clasificar imágenes.

Utilizando las propiedades de la transformada de Fourier de la lente y el filtrado espacial, el sistema óptico puede tener capacidades informáticas de simulación matemática, lo que se denomina "computadora óptica".

Los nombres de procesamiento de información óptica de filtrado espacial, procesamiento de luz coherente, procesamiento de señales, procesamiento de imágenes y reconocimiento de imágenes (o patrones) están todos relacionados con el filtrado de frecuencia espacial en sistemas ópticos de fase coherente.

Este método matemáticamente complejo se basa en el interesante hecho de que se muestra el patrón de difracción de Fraunhofer de un objeto en el plano focal posterior de una lente convexa y la relación entre la amplitud del campo luminoso y la transformada de Fourier de el plano focal frontal de la lente. La operación integral de Fourier bidimensional se puede implementar de manera muy conveniente utilizando métodos puramente ópticos. El concepto de filtrado en la teoría de la información se introduce en la óptica, es decir, no solo se puede analizar el espectro espacial de un objeto, sino que también se puede lograr el propósito de la síntesis mediante el filtrado. Así como el espectro de una función temporal se puede cambiar de alguna manera, al cambiar el espectro espacial de la función de un objeto, se puede cambiar el contenido de información del objeto. Ejemplos de este tipo de síntesis de Fourier que han supuesto importantes avances en la óptica moderna son la microscopía de contraste de fase Zelnik, los filtros ópticos adaptados, el procesamiento óptico de datos de radar de apertura sintética, diversas técnicas de mejora de imágenes, restauración de imágenes borrosas, etc.

De hecho, el concepto de filtrado espacial no es nuevo. Ya fue propuesto por E. Abbe en 1873 "On Microscope Imaging". 1906 El experimento de A.B. Porter para verificar la teoría de Abbe fue el primer experimento de filtrado espacial. En la década de 1950, el francés P.-M. Ou se dedicó a aplicar la integral de Fourier a la óptica, y A. Marechal mejoró la función de transferencia del sistema de imágenes mediante filtrado de amplitud y fase, lo que mejoró en cierta medida la calidad de la fotografía (. Figura 3). Su éxito en este campo despertó un gran interés en el procesamiento óptico de información. En la década de 1960, debido a la aparición de los láseres, los sistemas de procesamiento de luz coherente tenían una fuente de luz coherente ideal y la investigación sobre el filtrado espacial se desarrolló rápidamente. Por ejemplo: eliminación de líneas de escaneo y puntos de medios tonos, mejora del contraste, nitidez de bordes, extracción de señales periódicas de ruido aditivo, equilibrio de aberraciones, correlación cruzada de datos, filtrado coincidente (reconocimiento de imágenes), filtrado inverso (recuperación de imágenes borrosas), etc. .

El sistema de procesamiento de luz coherente se muestra en la Figura 4. La salida de luz coherente del láser se expande mediante el sistema de colimación y luego ilumina la función del objeto en el plano focal frontal de la lente de Fourier L1. El campo luminoso en el plano focal posterior es el espectro de Fourier de la función del objeto. En este plano espectral se colocan filtros espaciales con cambios de amplitud (densidad óptica) o fase (trayectoria óptica) o ambas para cambiar el componente espectral de Fourier de la función objetivo. El espectro de Fourier filtrado espacialmente se transforma inversamente de Fourier mediante la segunda lente L2 y se muestra en el plano de la imagen.

Los filtros espaciales se pueden dividir aproximadamente en tres categorías: tipo de amplitud, tipo de fase y tipo compuesto.

Los filtros espaciales de amplitud más simples son los filtros de paso bajo, paso alto, paso de banda y direccionales, como se muestra en la Figura 5. Es binario en densidad óptica, es decir, consta de solo dos partes: transparente y opaca. El filtro de paso bajo se puede utilizar para eliminar las líneas de exploración de estructuras periódicas en la imagen, porque el espectro de la imagen generalmente se concentra cerca de la frecuencia cero y el espectro de las estructuras periódicas (líneas de exploración) es simétrico con respecto a la frecuencia cero. Se utiliza un filtro de paso bajo para pasar los componentes de frecuencia cero en la imagen, al mismo tiempo que se bloquea el espectro de la estructura periódica y, finalmente, se muestra una imagen sin las líneas de escaneo en el plano de la imagen. De manera similar, el filtro direccional puede extraer información de la imagen en un cierto intervalo de dirección, por lo que es muy eficaz en el procesamiento de datos geológicos. La Figura 6 muestra un ejemplo de filtrado direccional más filtrado de paso bajo para eliminar las líneas de exploración. La Figura 7 es un ejemplo de eliminación de puntos impresos. Además, el filtro de amplitud también puede utilizar película fotográfica según sea necesario para controlar estrictamente la densidad óptica y obtener un filtro con densidad que cambia continuamente. Este filtro es útil en operaciones de mejora de contraste y diferencia.

El filtro de espacio de fases más famoso es la placa de desplazamiento de fase del microscopio de contraste de fases Zelnik. En términos generales, los filtros de fase se fabrican mediante el método de recubrimiento por evaporación al vacío o una película fotosensible blanqueada.

Filtro espacial compuesto significa que tanto la amplitud como la fase del filtro deben cambiarse. Los filtros de amplitud y fase se pueden hacer por separado, y luego se puede formar un filtro compuesto. También se puede hacer mediante holografía, es decir, tomando un holograma de Fourier de la función del objeto en el plano espectral, que no solo registra la amplitud del espectro, sino que también registra la fase del espectro. El uso de la holografía para crear filtros espaciales complejos es un gran impulso para el procesamiento de información óptica. Los filtros holográficos se pueden utilizar para filtrado coincidente, correlación de patrones, procesamiento de imágenes borrosas (ver Figura 7), equilibrio de aberraciones, etc.