El origen de la constante natural e

Hola a todos, soy e, este es mi primer artículo y estoy muy emocionado en este momento. ¡Un joven escritor está a punto de nacer (narcisistamente)! ! ! Sin más, comenzamos el texto.

Empecemos con dos ejemplos

Las espigas de trigo de Sócrates

Platón preguntó a Sócrates qué es el amor. Sócrates dijo, vayamos al campo de trigo, no miremos atrás, sigue caminando hacia adelante, corta la espiga de trigo más grande que encuentres y tráemela. Todo el mundo sabe lo que pasó después: Platón miró hacia adelante y hacia atrás, sintiendo siempre que había algo mejor por delante, pero terminó con las manos vacías, sin ni siquiera una espiga de trigo.

Además, Merrill Flood planteó una pregunta clásica en la teoría de juegos: El dilema del prisionero también planteó una pregunta similar: supongamos que hay una serie de pretendientes, cada uno de los cuales está registrado como Para 1, 2, 3, 4, 5...N, solo puedes entrevistar a uno de ellos a la vez, y debes tomar una decisión cada vez, aceptar o rechazar; y estos pretendientes son buenos y malos, entonces, ¿cómo puedes maximizar tus posibilidades de entrevista? ¿Cuál es la probabilidad de elegir el mejor?

En matemáticas, existe una constante llamada constante natural (también llamada número de Euler). La razón por la que este número se llama constante natural es porque muchas leyes de la naturaleza están relacionadas con este número. Sin embargo, este número no se descubrió originalmente en la naturaleza, sino que estaba relacionado con el interés compuesto en los bancos.

Imagínese que si deposita dinero en un banco con una tasa de interés anual de 100, el dinero aumentará a (1 1)^1=2 veces después de un año. Si el banco no utiliza este método para liquidar los intereses, sino que los calcula cada seis meses, pero la tasa de interés semestral es la mitad de la tasa de interés anual anterior, que es 50, entonces el dinero después de un año aumentará al original (1 0,5)^2=2,25 veces. Del mismo modo, si se convierte a diario y la tasa de interés diaria es 1/365, el dinero aumentará a (1 1/365)^365≈2,71 veces después de un año.

Es decir, a medida que se acorte el tiempo de liquidación, los ingresos finales serán cada vez mayores. Si el tiempo de liquidación es infinitamente corto, ¿el ingreso final será infinito? Este problema equivale a resolver el siguiente límite:

Se puede ver mediante una prueba matemática estricta que el límite anterior existe. No es infinito, sino una constante. Esta constante es lo que ahora se llama constante natural. e.:

También se ha demostrado que la constante natural e es un número irracional, por lo que es un decimal infinito no cíclico, con un valor específico de 2,71828….

De acuerdo con el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial con e como base, también se puede derivar otra expresión de e:

Se puede observar que la suma de los recíprocos de los factoriales de números naturales son exactamente e, por lo que esto puede reflejar el aspecto "natural" de las constantes naturales.

?En la naturaleza, existen muchas leyes relacionadas con e, como las leyes de crecimiento, reproducción y descomposición de los organismos. Estos procesos son infinitamente continuos, similares al interés compuesto infinito de un banco.

Las Matemáticas en la Vida

Parece que a mucha gente no le gustan las matemáticas. Muchos estudiantes suelen preguntar y quejarse así: "¿Por qué debería aprender estas cosas? Normalmente no las uso. Pero, de hecho, como adulto, comprender algunos conceptos matemáticos básicos es crucial para la vida diaria". Necesitamos matemáticas cuando contamos nuestro efectivo, cuando calculamos los pagos de nuestra hipoteca, cuando completamos nuestras declaraciones de impuestos. De hecho, muchas cuestiones financieras del pasado han contribuido al desarrollo de las matemáticas mismas. Por ejemplo, los números negativos se utilizaron originalmente principalmente para representar la deuda.

En la vida, solemos mencionar el concepto matemático de crecimiento exponencial. El crecimiento exponencial en realidad se refiere al crecimiento en el que un sistema duplica su tamaño durante un período de tiempo. Por supuesto, la cantidad se puede duplicar, triplicar o n veces. Un ejemplo de crecimiento exponencial es el problema de la reproducción bacteriana. Si el número de bacterias en una placa de Petri se duplica de vez en cuando y no hay restricciones a la reproducción, entonces su número crecerá exponencialmente.

Otro ejemplo familiar de crecimiento exponencial es la Ley de Moore, una ley que lleva el nombre del cofundador de Intel, Gordon Moore.

En 1965, Moore notó que el tamaño de los transistores estaba disminuyendo rápidamente, lo que significaba que los chips de computadora podían contener más transistores, por lo que predijo que la potencia de procesamiento de los chips se duplicaría aproximadamente cada dos años. Este crecimiento exponencial se viene produciendo desde hace décadas, pero muchos creen que debido a limitaciones tecnológicas, la Ley de Moore pronto expirará.

La magia de e

Ahora, supongamos que hay un banco con una tasa de interés anual de 100. Si el período de cálculo de intereses (período de cálculo de intereses) es de un año, al final del año, 100 yuanes se convertirán en 200 yuanes. Si tienes la suerte de encontrar este banco y ahorrar algo de dinero, tu dinero crecerá exponencialmente.

Si el periodo de interés es más corto, ganarás más intereses. Por ejemplo, si el período de cálculo de intereses del banco es de medio año, entonces se calcularán 50 yuanes en el capital después de 6 meses y luego se calcularán los intereses para el siguiente período en base a esto. De esta manera, al final del año, además de los 100 yuanes de interés generados sobre el principal original, también se generan 50 yuanes de interés después de medio año, que son 25 yuanes. De esta manera, el capital final y los intereses devueltos por el banco al cliente son 225 yuanes en lugar de 200 yuanes.

Si el período de cálculo de intereses es de un trimestre, entonces los intereses del trimestre anterior pueden acumular intereses y el capital final y los intereses al final del año son 244 años. Obviamente, cuanto más corto sea el período de intereses, mayores serán el capital y los intereses finales. Pero a medida que se acorta el período de acumulación de intereses, los intereses agregados serán cada vez menores. Si el período de acumulación de intereses es de un día, el capital y los intereses finales serán de 271 yuanes. En otras palabras, el principal y los intereses finales son 2,71 veces el principal original.

Entonces surge la pregunta: si el interés se calcula cada minuto, cada segundo o incluso en menos tiempo, ¿cuántas veces es el capital y el interés final? En el pasado, los matemáticos nunca entendimos este problema. hasta el siglo XVII. En 1683, el matemático suizo Jacob Bernoulli encontró la respuesta: 2,7182818... Este número es similar a π y es un número irracional. Los matemáticos llaman a este número constante natural y usan la letra e para representarlo.

Este modelo de crecimiento que incluye intereses cada segundo se llama crecimiento compuesto continuo. Mientras se utilice este modelo de crecimiento, aparecerá e. Los matemáticos también descubrieron que e es la constante más básica en matemáticas. Actualmente se encuentra en muchas disciplinas, incluidas la contabilidad, la física, la ingeniería, la estadística y la teoría de la probabilidad.

Encontrar el amor verdadero

En cuanto a la aplicación de e, el ejemplo más interesante es el problema de la secretaria. Imagine que hay 100 personas solicitando un trabajo de secretaria. Son entrevistadas en orden aleatorio, y el entrevistador entrevista a una persona a la vez y debe decidir inmediatamente si la contrata después de la entrevista. Si decide no contratarlo en ese momento, no podrá volver a contratarlo, si lo contrata, toda la entrevista finalizará inmediatamente; Si el entrevistador quiere entrevistar a todos los solicitantes, esto equivale a rechazar a los primeros 99 solicitantes, y el último solicitante debe ser contratado independientemente de si está calificado o no. La pregunta es, ¿cuándo toma el entrevistador la decisión de elegir al candidato más adecuado con mayor probabilidad?

Después del análisis, los matemáticos creen que la mejor manera es entrevistar primero a algunas personas y luego entrevistar al resto. . Entre los candidatos, seleccione candidatos que sean mejores o cercanos a los mejores candidatos entrevistados previamente. Entonces, ¿a cuántas personas se debe entrevistar primero? Este proceso de cálculo es un poco más complicado y la respuesta se le dirá directamente: 100/e, que es aproximadamente 37. Es decir, después de entrevistar a 37 personas, seleccione la mejor entre ellas como estándar. Cuando los candidatos posteriores conozcan a alguien así, podrán ser identificados de inmediato. De hecho, este ejemplo también se puede aplicar a la búsqueda de pareja. Por ejemplo, si tienes la oportunidad de tener citas a ciegas con 100 personas, luego de conocer a 37 personas, puedes decidir enamorarte de una de las siguientes 63 personas que te gustan.

Así que, el conocimiento matemático no sólo es útil a la hora de calcular dinero, sino que a veces te ayuda a encontrar el amor verdadero.

¡Tu atención y reenvío son el mayor apoyo!